copula理论及其在金融分析上的应用「债务抵押债券例题」

编者按：

回顾了国际金融危机发生前后的真实示例，就大众对数学方法与模型在金融危机中的误解作出了解释，并强调了宏观经济分析和基本原理的重要性。具体而言，本书从抵押债务凭证（CDO）的偿付入手，解释了如何构建CDO及其运作机制；之后引入非一致性Copula模型以及与此相关的隐含相关性，通过广义泊松损失（GPL）模型校正CDO的不同层级；在此基础上，运用隐含Copula模型就具有不同优先级的CDO产品进行说明；最后，本书还介绍了预期层级损失面（ETL surface），一个独立于模型的CDO价格插值方法。

这本书写得很快，其目的是回应因需要将量化世界中的问题弄明白而产生的感性需求。对于部分报刊和媒体将危机归罪于模型和数理金融的歇斯底里的表现，以及对危机中部分有关的市场产品 （如ＣＤＯｓ和其他更一般的衍生产品）的妖魔化 （Ｂｒｉｇｏ等，２００９ｂ）行为，本篇前言的第二部分，“我是如何学会不再担忧并热爱 ＣＤＯｓ的”，具有明显的嘲讽意味。我们都清楚并对此没有异议：这场危机是非常真实的，它给许多个人、家庭和公司造成了伤害。然而，寻找替罪羊是没有帮助的，应当用批判的眼光看待整个事情。试图让公众相信危机主要是由复杂晦涩的产品设计与交易造成的论调必定是存在偏颇的，因此本书致力于纠正这种认知偏差。

的确，公众舆论中充斥着关于金融衍生产品、建模和定量分析的成见，因此，我们认为需要一本书将事实说清楚。虽然我们知道这听起来有些唐·吉诃德式的自信，但我们仍希望这本书能帮助改变这种状况。要做到这一点，我们需要仔细平衡不同读者群体的视角。我们希望本书既对业界和学术界具有广泛的吸引力，也不至于令被科学和技术武装了头脑的专家们失望；同时，我们也不希望本书是某种充满抨击和消极挑衅思想却没有实际技术内容的畅销型出版物。除此之外，我们会尽量保持 《唐·吉诃德》中风车的面貌①。因此，我们将游走在刀口上，试图在通俗描述和科学思辨之间寻找某种平衡点。

我们并不是唯一试图澄清该问题的人。本书以全面和技术性的方式展示了过去和现在的众多研究，这些研究对人们关于数学和定量分析在危机中的作用的一些误解进行了反驳。本书运用了大量的技术手段，从静态 Ｃｏｐｕｌａ模型开始到动态损失模型 （ＤｙｎａｍｉｃＬｏｓｓＭｏｄｅｌ）结束。尽管本书篇幅很短，我们仍对信用衍生产品和多方信用衍生产品 （Ｍｕｌｔｉ－ｎａｍｅＤｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ），尤其是担保债务凭证 （ＣｏｌｌａｔｅｒａｌｉｚｅｄＤｅｂｔＯｂｌｉｇａｔｉｏｎ，ＣＤＯ）进行了长期的追踪。那么什么是 ＣＤＯ呢？为了描述最简单的 ＣＤＯ，如公司债市场上的合成 ＣＤＯ （ＳｙｎｔｈｅｔｉｃＣＤＯ），我们可以按照以下步骤进行研究。

我们假设一个由 １２５个参考资产构成的投资组合。这些主体可能违约，从而给投资这些主体的投资者造成损失。在每个 ＣＤＯ层级 （ＣＤＯｔｒａｎｃｈｅ）中存在两方参与者：保护买方和保护卖方。层级是投资组合损失的百分比区间。例如，３％ ～６％这一层级对应 ３％ （起点）和 ６％ （终点）之间的损失。粗略地说，如果投资组合中一个或多个主体发生违约，信用保护卖方同意向信用保护买方支付因违约而产生的不超过全部资产池损失 ３％ ～６％的所有名义违约损失 （减去回收金额）。作为交换，信用保护买方应周期性地为相应时期内仍 “有效”的一部分层级向信用保护卖方支付费用。

从某种意义上讲，ＣＤＯ看起来像是针对投资组合的损失部分而出售 （或购买）的保险合同。ＣＤＯ的估价问题在于确定这项保险的公平价格。

至关重要的观察表明，“分层”是一个非线性操作。当计算某一层级在某一时点的价格 （按市场价）时，必须在价格估算的基础上计算该层级未来损失的期望值。由于层级是损失的非线性函数，该期望值将取决于所有时点的损失，而不仅仅取决于预期损失。如果我们逐一观察投资组合中的资产主体，投资组合的损失分布是以单一资产主体违约的边缘分布以及不同资产主体违约之间的依赖性 （Ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｙ）为特征的。由于语言滥用，依赖性通常也被称为 “相关性”（Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）。这是一种语言的滥用，因为相关性特指对联合高斯分布随机变量的依赖性的完整描述，但在更普遍情形下的相关性并非如此。一般来说，术语 “依赖性” （Ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｙ）应代替 “相关性” （Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）。完整的描述或

采用整体多元分布，或采用所谓的 “Ｃｏｐｕｌａ函数”———换言之，边缘分布被标准化为均匀分布的多元分布。层级对 “相关性”的依赖是很重要的。市场假设存在一个将 １２５个资产主体的违约关联起来的高斯 Ｃｏｐｕｌａ。该 Ｃｏｐｕｌａ的参数为一个由 ７７５０个成对相关性参数所组成的矩阵。然而，当考虑某一层级时，这 ７７５０个参数却被假设为彼此相等。所以，这时的参数是唯一的。因此，我们需要明确地注意到这种极端的简化形式：

７７５０个参数→１个参数

接着，我们为标准化投资组合选择在市场上具有流动性的层级，这些层级的市场价格被称为报价。然后，对该唯一的相关性参数使用反向工程还原待报价的流动性层级的价格。这一参数被称为隐含相关性，一旦获得该参数就可以被用来对相关产品进行估价。问题是，一旦层级改变，这种隐含的相关性也会改变。因此，如果在给定的时间，５年期的 ３％ ～６％的层级具有给定的隐含相关性，但相同期限的 ６％ ～９％的层级将具有不同的隐含相关性。因此，同一个资产池中的两个层级的定价采用两个具有不同和不一致的损失分布模型，对应于两个不同的隐含相关性参数值。

这听起来可能是消极的，但实际情况可能更糟。我们将详细解释两种可能的隐含相关性范式：复合相关性 （ＣｏｍｐｏｕｎｄＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）和基准相关性 （ＢａｓｅＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）。基准相关性是市场上普遍可见的范式。然而，即使在单一层级，基准相关性也不一致，因为它通过将 ３％ ～６％分解为 ０～３％层级和 ０～６％层级来定价，并且对于该层级使用两种不同的相关性参数 （从而不同的分布）。因此，基准相关性在单一层级上已经不一致，这种不一致性偶尔会出现在负损失中 （例如，在违约资产主体起死回生时）。

诚然，这足以引发一场辩论。甚至在建模进入公众视野之前，一些著名的市场重量级人物已经将建模对象 （如衍生产品）作为众多问题的问责对象。沃伦·巴菲特 （Ｂｕｆｆｅｔｔ，２００３）在一份非常有趣的报告中写道：

……查理和我对衍生产品及其交易活动的看法是一致的：我们把它们视为定时炸弹，无论对于交易方，还是对于经济体系。……在我们看来……衍生产品是大规模杀伤性金融武器，虽然现在看不出来，但其包含的危险性可能是致命的。……衍生产品合约的范围仅仅受制于人类的想象 （有时觉得这些人似乎是疯子）。

然而，当听到诸如固定比例债务凭证 （ＣｏｎｓｔａｎｔＰｒｏｐｏｒｔｉｏｎＤｅｂｔＯｂｌｉｇａｔｉｏｎｓ，ＣＰＤＯ）或双层担保债务凭证 （ＣＤＯＳｑｕａｒｅｄ）等产品时，人们可能会与巴菲特有相同的感受，但是，这种过度的概括可能稍稍有点过分。其实，如果衍生产品使用得当，可能会相当有用。例如，多个资产类别 （如利率、外汇、石油和其他商品）的掉期合约和相关的期权允许参与实体各方对风险进行交易，并在市场形势不利时获得保护。如果没有衍生产品，公司就无法保护自己免受未来油价、汇率、利率等不利变动的影响。这并不是说衍生品不可能被滥用，它们当然可能被滥用，我们邀请感兴趣的读者以 ＣＰＤＯｓ① 为例进行分析，并阅读巴菲特的整份报告。

当我们越过产品并进入模型相关的问题时，仍然会发现流行的观点中充斥着相当丰富多彩的表达方式，诸如 “扼杀了华尔街的公式” （“ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｈａｔｋｉｌｌｅｄ Ｗａｌｌ Ｓｔｒｅｅｔ”）。事实上，如果我们看一下 Ｓａｌｍｏｎ（２００９）或 Ｊｏｎｅｓ（２００９）的流行观点 （仅举两位为例），我们可能最终得出数理 （定量）金融学界令人难以置信的幼稚，以及导致沃伦·巴菲特在上述报告所称的 “以神话估价”（ｍａｒｋｔｏｍｙｔｈ）的结论，因为他们采用高斯 Ｃｏｐｕｌａ和隐含相关性却没有质疑其存在的问题，尤其是将校正的相关性运用到其他没有报价的 “定制层级” （Ｂｅｓｐｏｋｅ Ｔｒａｎｃｈｅｓ）中。事实上，这两篇文章都是关于高斯 Ｃｏｐｕｌａ的，该模型是一个静态模型，仅仅是一个用于信用衍生品 （尤其是 ＣＤＯ）估价和风险管理的静态多元分布模型。这个简单的静态模型能使所有人相信它能精确表示一个动态的现实并进一步导致华尔街银行的倒闭吗？Ｓａｌｍｏｎ（２００９）正确地指出了已知模型的某些缺陷，Ｊｏｎｅｓ（２００９）在英国 《金融时报》上质疑为什么没有人注意到这种模型 的 缺 陷。这 场 危 机 被 认 为 受 到 数 学 模 型 的 严 重 影 响，在 此 重 点 强 调“数学”。

在新闻中也出现了对量化展开广泛抨击的情况。例如，新闻文章 “麦考密克” （ＭｃＣｏｒｍｉｃｋ）基于赤字模型的坏账击败了量化模型，该文更侧重于货币市场，它告诉我们 “……当交易员和投资者长年依赖定量分析的数学模型时，对货币波动经济原因的关注正获得更大的吸引力”。然后，它还告诉我们： “这些工具在近 １０年来的早期全球经济增长和本世纪初波动性下降的时期发挥了作用，但在引发 １５年来最大幅度货币波动的金融危机之前，未能显示出危险的信号。而麦考密克利用宏观经济和定量分析，在全球经济崩溃前发现了日益显露的压力。”读者通过观察这一点可以了解到，“定量分析的数学模型”（听起来相当冗余的一句话）在金融危机时期失效了，而 “宏观经济和定量分析”则有助于预测危机的某些方面。人们需要去思考的是 “定量分析的数学模型”和 “宏观经济和定量分析”二者之间 “定量”的不同含义，好像数学突然变成了一个争议的词汇。当然，这篇文章的目的是说明宏观经济分析和基本原理越来越重要，应该更多地考虑，尽管我们认为该文没有清楚地将估值和预测区分开来。但是，该文中用于强调这些观点的一些语句正是我们前面讨论的对建模和数学态度的典型表现。

在另一篇题为 “华尔街的数学巫师们忘记了一些变量” 的文章中 Ｌｏｈｒ（２００９）把数学和数学家 （某些人认为是 “数学巫师”）归入了 “被指责”的行列，这篇文章发表于 ９月 １２日的 《纽约时报》上。此外，Ｔｒｕｎｅｒ（２００９）中一个章节的标题就是 “对复杂数学的错误依赖”。

这种业界和学术界对数学和数学家的总体敌视和指责态度，使我们认为有必要指出以下几点：关于数学量化方法没有意识到高斯 Ｃｏｐｕｌａ模型局限性的认识和观点肯定是不正确的，正如我们将在后文说明的，当然你也可以就此同我们争论。学术界已经出现了一大批质疑 Ｃｏｐｕｌａ假设的研究。有一本书是根据美林 ２００６年在伦敦主办的为期一天的会议编辑的，该书成书于危机发生之前，书名为 《信用相关性：Ｃｏｐｕｌａｓ之后的生活》 （Ｌｉｐｔｏｎ和 Ｒｅｎｎｉｅ，２００７）。这次会议是由从业人员组织举办的。 《信用相关性：Ｃｏｐｕｌａｓ之后的生活》一书中包含了一些超越高斯 Ｃｏｐｕｌａ和隐含相关性的尝试，其中大部分来自从业人员 （小部分来自学者），但这本书只是冰山一角。危机爆发前曾有许多出版物对高斯 Ｃｏｐｕｌａ和隐含相关性提出了质疑。例如，我们在报告 《隐含相关性：一个需要谨慎处理的范例》（“Ｉｍｐｌｉｃｉｔ Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ：Ａ Ｐａｒａｄｉｇｍ ｔｏ ｂｅ ｗｉｔｈ ｃａｒｅ”）中对使用隐含相关性可能暗含的危险提出了警告。该报告于 ２００６年发表在 ＳＳＲＮ上，发表时间也是在危机发生之前 （Ｔｏｒｒｅｓｅｔｔｉ等，２００６ｂ）。

不过，一些市场参与者、评论员、记者、评论家、政客和学者似乎并不认同这一点，仍然有一些人认为是一个公式杀死了华尔街 （参见 Ｅｍｂｒｅｃｈｔｓ，２００９年的讨论）。

本书通过讲述危机前发出警告以及危机前试图弥补隐含相关性缺陷的真实故事，试图澄清一些误解。我们并不打算描述完整的解决基本相关性和高斯Ｃｏｐｕｌａ局限性的研究体系，而是基于我们过去的研究和近期的更新，从这个体系中选择一条特定的研究路径，来解释我们的模型在危机时期能够告诉我们一些什么。

概括地说，我们可以认为本书从 ＣＤＯ的偿付开始，解释如何编写它们以及它们如何工作。接着，我们开始引入非一致性高斯 Ｃｏｐｕｌａ模型和与此有关的隐含相关性，包括复合相关性和基本相关性，然后引出广义泊松损失 （ＧＰＬ）模型：一个无套利的动态损失模型，该模型能够同时一致地校正所有期限的全部起点和终点之间的层级。在此基础上，我们还说明了隐含 Ｃｏｐｕｌａ，通过该方法可以一致性地解释具有不同起点和终点的 ＣＤＯ产品，但该方法不适用于期限不同的 ＣＤＯ产品，另外，还介绍了预期层级损失 （ＥＴＬ）表面，一个独立于模型的 ＣＤＯ价格插值方法。

我们将看到，无论是隐含 Ｃｏｐｕｌａ还是动态损失模型都蕴含着较低的损失分布右尾特征，这些特征在危机前已经存在。这意味着存在违约概率集簇，对应经济中存在大量实体 （部门）联合违约 （ＪｏｉｎｔＤｅｆａｕｌｔ）的情形。

历史中的市场案例充分支持了这一讨论。我们必须强调的是，我们对使用高斯 Ｃｏｐｕｌａ和隐含相关性提出的危险和批评，以及用一致性模型得到的损失分布尾部模式，都是我们在 ２００６年发表的，远早于危机之前。

虽然有这些警告，但是高斯 Ｃｏｐｕｌａ模型仍然在其基本相关公式中使用，尽管有一些诸如随机回收之类的扩展。导致这些问题的原因比较复杂。首先，虽然改进了一致性问题，但是所有的损失模型在计算单个资产主体数据和考虑单个资产主体的敏感性时都面临一定的困难。这是因为，如果我们将资产池的损失直接建模为一个整体对象，而不考虑单个违约，那么模型对单个资产的信用信息的敏感性就不存在了。换句话说，即使整体损失模型令人满意地校正了指数和层级，但该模型却忽视了单一主体的违约，而仅仅关注整体对象的损失动态。因此，针对单一主体的部分对冲也不可行。由于这些问题在许多情况下都是至关重要的，因此市场实践主要停留在基本相关性方面。而且，即使存在极少的几个实现了单个资产主体一致性的模型，这些模型也没有得到充分开发和测试以运用到实际交易场所和大型风险管理平台中。事实上，一个有着实际运行次数并且通过大量有效的市场数据输入且数值稳定的完全可操作性的模型与有着满意特性尚处于 “离线研究”的原型系统是不一样的。此外，当某个模型在金融机构的数据库中已经编好程序，改变该模型意味着一条漫长的道路，其中涉及的许多问题与建模无关，更多涉及 ＩＴ问题，如与其他系统的集成等。因此，除非一种新的模型在各方面看起来确实有保障且令人信服，否则，在交易场所或风险管理系统中采用这种模型就是相当勉强的。

总的来说，我们得出的结论是衍生品市场领域在建模方面的努力尚未完成，一部分原因是缺乏一个具有可操作性且具有吸引力的单一资产主体一致动态损失模型，另一部分原因是该研究领域的投资萎缩。但建模方面的目标尚未完成并不意味着做量化的群体没有意识到模型的局限性，正如我们上述文献充分说明的那样，同时，尽管我们的叙述以一个开放的结局结尾，但我们仍然认为这是一个有趣的真实故事。

本文摘自：《信用模型与危机：一段关于债务抵押债券、Copula理论、相关性和动态模型的旅程》

作者简介：

达米亚诺·布里戈 （ＤａｍｉａｎｏＢｒｉｇｏ）是惠誉解决方案 （ＦｉｔｃｈＳｏｌｕｔｉｏｎｓ）的董事总经理兼量化团队全球负责人，也是伦敦帝国理工学院数学系的客座教授。达米亚诺在数学金融、系统论、概率和统计学的顶级期刊上发表了 ５０多篇文章，并于施普林格 （ＳｐｒｉｎｇｅｒＶｅｒｌａｇ）出版公司出版了一本书，该书已成为随机利率建模领域的参考。他是 《国际理论与应用金融杂志》 （Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎｄ ＡｐｐｌｉｅｄＦ ｉｎａｎｃｅ）的执行主编，也是麻省理工学院及其他学术和工业机构学术会议的科学委员会成员。达米亚诺的兴趣包括定价、风险测量、信用和违约建模、交易对手风险以及商品和通胀的随机动态模型。达米亚诺于１９９６年从阿姆斯特丹自由大学获得微分几何随机滤波博士学位。

安德烈亚·帕拉维奇尼 （Ａｎｄｒｅａ Ｐａｌｌａｖｉｃｉｎｉ）是米兰莱昂纳多银行 （Ｂａｎｃａ Ｌｅｏｎａｒｄｏ）的金融工程主管。此前，他曾在 ＩＭＩ银行 （Ｂａｎｃａ ＩＭＩ）担任股票和混合模型主管，同时研究动态损失模型、利率衍生品、微笑曲线模型和交易对手风险。多年来，他在金融建模、理论物理和天体物理学方面发表了几篇学术和实践导向的文章。他曾在帕维亚大学和米兰大学教授金融硕士课程。他获得了帕维亚大学的天体物理学学位和理论与数学物理学博士学位。

罗伯托 · 托 雷 塞 蒂 （Ｒｏｂｅｒｔｏ Ｔｏｒｒｅｓｅｔｔｉ） 负 责 西 班 牙 毕 尔 巴 鄂 比 银 行（ＢＢＶＡ）的结构化信贷衍生品业务。他曾是 ＩＭＩ银行的高级信贷衍生品建模师、雷曼兄弟公司的股票衍生品分析师以及圣保罗 ＩＭＩ资产管理公司的量化基金经理。他拥有米兰博科尼大学经济学学士学位，并在博科尼大学获得经济学硕士学位，在芝加哥大学获得金融数学硕士学位。